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首页 > 念云知夏 > 收敛与发散

收敛与发散(1 / 2)

 数学竞赛的日子终于到了。周六的清晨,校园里异常安静,只有竞赛教室亮着灯。许念云今天特意穿了一件鲜红色的外套,衬得她苍白的脸色有了几分生气。

“加油!”她朝每个人比了个胜利的手势,却在转身时踉跄了一下。

江逾白及时扶住她:“真的没问题?”

“当然!”许念云眨眨眼,“今天可是要拿冠军的!”

竞赛题目比预想的更难。最后一道题让许多考生皱起了眉头:

【题目】设 f 是定义在 R? 上的连续函数,且满足对任意 x,y,h,k 有

f(x+h,y+k) + f(x-h,y-k) ≥ 2f(x,y)

证明:f 是凸函数。

许念云思考片刻,嘴角扬起自信的微笑。她开始流畅地书写:

【证明】由题设条件,固定(x,y),考虑函数g(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y)

则条件变为 g(h,k)+g(-h,-k) ≥ 0

现证明f是凸函数,即证对任意(x?,y?),(x?,y?)和t∈[0,1]有

f(t(x?,y?)+(1-t)(x?,y?)) ≤ tf(x?,y?)+(1-t)f(x?,y?)

由连续性,只需证明对任意方向向量(h,k),函数φ(t)=f((x,y)+t(h,k))是凸函数...

她巧妙地利用条件证明φ''(t) ≥ 0,从而完成证明。

交卷时,监考老师惊讶地看着她的解答:“这个解法很独特。”

许念云微笑:“因为凸函数就像生命,总是朝着最优的方向前进。”

赛后,四人走在校园里。许念云明显疲惫,但眼睛依然闪亮:“我觉得我们考得不错!”

“嗯,”江逾月轻声应着,细心地为她拂去肩上的落叶,“你很棒。”

江逾白和南笙走在后面。经过上次的谈话,两人之间的气氛明显不同。

“晚上有空吗?”江逾白突然问,“我想带你去个地方。”

南笙微微惊讶:“什么地方?”

“秘密。”江逾白难得地卖关子,眼中带着她从未见过的温柔。

许念云突然回头,狡黠地笑:“约会哦?”

江逾白瞪她一眼,耳根却红了。

傍晚,江逾白真的带南笙去了一个地方——市天文台。

“为什么来这里?”南笙惊讶地问。

“因为这里离星星最近。”江逾白指着望远镜,“而且最安静。”

透过望远镜,土星环清晰可见。南笙专注地观察着,突然感觉到江逾白从身后轻轻抱住她。

“笙笙,”他的声音有些紧张,“我喜欢你,很久了。”

南笙的心跳突然加速:“从什么时候开始?”

“从你小学时帮我解出那道数学题开始。”江逾白轻声说,“你认真的样子,比任何星星都耀眼。”

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